Question

等比数列{a_n}中，a₁=1，a₄=8．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足a₂，a bn，a_2n+2成等比数列，若b₁+b₂+b₃+…+b_m≤b₁₀，求正整数m的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ） 设等比数列{a_n}的公比为q，由已知列出方程求出q，代入通项公式求出通项；
（Ⅱ）由题意得abn2=a2•an+2，即(2bn-1)2=2•22n，求出b_n=n+2，判定出数列{b_n}是以首项为3，公差为1的等差数列，利用公式求出和，列出不等式求出m的范围．

解答： 解：（Ⅰ） 设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a4=a1q3，∴q=2．
∴an=n-1．…（6分）
（Ⅱ）由题意得abn2=a2•an+2，
∴(2bn-1)2=2•22n，得b_n=n+2，
∵b_n+1-b_n=1，
∴数列{b_n}是以首项为3，公差为1的等差数列．…（9分）
∴b₁+b₂+b₃+…+b_m≤=

(m+5)m

2

≤b10=12，…（11分）
即m²+5m-24≤0，解得-8≤m≤3，
又因为m为正整数，所以m=1或2或3．…（14分）

点评：本题考查等差数列、等比数列的定义及通项公式的求法；等差数列前n项和的求法及解不等式，属于中档题．