Question

14．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x+\frac{1}{2}\;（x∈R）$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）函数f（x）的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得g（x）的图象，求函数y=g（x）在x∈[0，π]上的最大值及最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，即可解得函数f（x）的单调递增区间．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（x-$\frac{π}{3}$），由x∈[0，π]得：$x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，利用正弦函数的图象即可解得函数y=g（x）在x∈[0，π]上的最大值及最小值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x+\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}{cos^2}x=sin（2x-\frac{π}{6}）$，
∴由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}\;（k∈Z）$，
∴函数f（x）的单调递增区间为：$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]\;（k∈Z）$．…（6分）
（2）函数f（x）的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得$g（x）=sin（x-\frac{π}{3}）$，
∵x∈[0，π]得：$x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，
∴$sin（x-\frac{π}{3}）∈[{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$．
∴当x=0时，$g（x）=sin（x-\frac{π}{3}）$有最小值$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
当$x=\frac{5π}{6}$时，$g（x）=sin（x-\frac{π}{3}）$有最大值1．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．