题目内容
求证：函数f（x）=-x2+2x在（-∞，1）上是增函数．
考点：函数单调性的判断与证明
专题：证明题
分析：利用函数的单调性的定义证明即可．
解答：
证明：设任意的x1，x2∈（-∞，1），且x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=（-
+2x1）-（-
+2x2）
=（x2-x1）（x1+x2-2），
∵x1，x2∈（-∞，1），且x1＜x2，
∴x2-x1＞0，x1+x2-2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）=-x2+2x在（-∞，1）上是增函数．
f（x1）-f（x2）=（-
| x | 2 1 |
| x | 2 2 |
=（x2-x1）（x1+x2-2），
∵x1，x2∈（-∞，1），且x1＜x2，
∴x2-x1＞0，x1+x2-2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）=-x2+2x在（-∞，1）上是增函数．
点评：本题主要考查函数单调性的判断，由增函数的定义证明即可，属于基础题．
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