题目内容

已知A，B均为锐角，A+B＞
π
2
，求证：对任意x∈（0，+∞），有f（x）=（
cosA
sinB
）x+（
cosB
sinA
）x＜2．
考点：同角三角函数基本关系的运用,运用诱导公式化简求值
专题：函数的性质及应用,三角函数的求值
分析：由已知中A，B均为锐角，A+B＞
π
2
，可得A＞
π
2
-B，B＞
π
2
-A，进而结合诱导公式和余弦函数的单调性，可得0＜cosA＜sinB，且0＜cosB＜sinA，再由指数函数的图象和性质证得结论．
解答： 证明：∵A，B均为锐角，A+B＞
π
2
，
∴A＞
π
2
-B＞0，B＞
π
2
-A＞0，
∴0＜cosA＜cos（
π
2
-B）=sinB，且0＜cosB＜cos（
π
2
-A）=sinA，
∴0＜
cosA
sinB
＜1，且0＜
cosB
sinA
＜1，
∴当x∈（0，+∞）时，
f（x）=（
cosA
sinB
）x+（
cosB
sinA
）x＜1+1=2
点评：本题考查的知识点是诱导公式，余弦函数的单调性，指数函数的图象和性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
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A、6B、7C、8D、9
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A、-1+iB、1+i
C、-1-iD、1-i
设n=
∫
π
2
0
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2
x
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A、60B、75C、90D、120
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2
2
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2
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2
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2
3
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2
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π
6
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1
2

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1
2
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