Question

已知函数f（x）=

x2+1，x＞0 -x2-4x +a，x≤0

在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：先利用导数研究在点（1，2）处的切线方程，然后作出函数图象，随着a减小时，半圆向下移动，当点A（-4，a）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象都有三个公共点，只需求出零界位置的值即可．

解答： 解：当x＞0时，f（x）=x²+1，则f′（x）=2x
∴f′（1）=2×1=2则在点（1，2）处的切线方程为y=2x
当x≤0时，y=f（x）=

-x2-4x

+a
即（x+2）²+（y-a）²=4（y≥a）
作出函数图象如右图
随着a减小时，半圆向下移动，当点A（-4，a）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，即a=2×（-4）=-8
再向下移动，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象有三个公共点，相切时与f（x）的图象有两个交点
即

|-4-a|

5

=2解得a=-4-2

5

＜-8
∴a的取值范围是（-4-2

5

，-8]．
故答案为：（-4-2

5

，-8]．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数图象，同时考查了数形结合的数学思想和分析问题的能力，属于难题．