Question

已知x＞0，y＞0，且x+8y-xy=0．求：
（Ⅰ）xy的最小值；
（Ⅱ）x+y的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（I）由x＞0，y＞0，且x+8y-xy=0，利用基本不等式可得xy=x+8y≥2

8xy

；
（II）由x＞0，y＞0，且x+8y-xy=0．变形为

1

y

+

8

x

=1，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答： 解：（I）∵x＞0，y＞0，且x+8y-xy=0，
∴xy=x+8y≥2

8xy

，化为xy≥32，当且仅当x=8y=16时取等号．
∴xy的最小值为32；
（II）∵x＞0，y＞0，且x+8y-xy=0．
∴

1

y

+

8

x

=1，
∴x+y=(x+y)(

1

y

+

8

x

)=9+

x

y

+

8y

x

≥9+2

x y • 8y x

=9+4

2

，当且仅当x=2

2

y=2

2

+8时取等号．
故x+y的最小值为9+4

2

，

点评：本题考查了基本不等式的应用，利用基本不等式的性质，属于基础题．