Question

已知圆C经过A（2，3），B（0，3）两点，且与直线x+y-5=0相切，
（1）求圆C的标准方程；
（2）在直线x+y+1=0上任取一点P，过P点作圆C的切线，切点为Q，当|PQ|最小时，求切线PQ的斜率．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设圆心坐标为（1，b），半径为r，利用圆与直线x+y-5=0相切，建立方程，求出圆心与半径，即可求圆C的标准方程；
（2）当|PQ|最小时，CP垂直于直线x+y+1=0，故可得直线CP的方程，与直线x+y+1=0，联立，可得P的坐标，设出切线PQ的方程，利用圆心到直线的距离d=r，即可得出结论．

解答： 解：（1）设圆心坐标为（1，b），半径为r，则
∵圆与直线x+y-5=0相切，
∴

|1+b-5|

2

=

1+(b-3)2

=r，
∴b=2，r=

2

，
∴圆C的标准方程为（x-1）²+（y-2）²=2；
（2）当|PQ|最小时，CP垂直于直线x+y+1=0，故可得直线CP的方程为y-2=x-1，即x-y+1=0，
与直线x+y+1=0，联立，可得P（-1，0），
设切线PQ的斜率为k，则切线PQ的方程为y=k（x+1），即kx-y-k=0，
∴圆心到直线的距离d=

|k-2-k|

1+k2

=

2

，
∴k=±1．

点评：本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，确定当|PQ|最小时，CP垂直于直线x+y+1=0是关键．