Question

已知等差数列{a_n}中，a₃a₇=-16，a₄+a₆=0．
（1）求a_n；
（2）若等差数列{a_n}为递增数列，设bn=(an+10)•2n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等差数列的性质可得：a₃+a₇=a₄+a₆=0，联立

a3a7=-16 a3+a7=0

，解得a₃和a₇，进而得到公差d．即可得到a_n．
（2）由等差数列{a_n}为递增数列，取d＞0，可得a_n=2n-10．可得b_n=n•2ⁿ⁺¹．再利用“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（1）由等差数列的性质可得：a₃+a₇=a₄+a₆=0，
联立

a3a7=-16 a3+a7=0

，
解得a₃=-a₇=4，或a₃=-a₇=-4．
则公差d=-2或2．
∴a_n=a₃+（n-3）d=10-2n或a_n=2n-10．
（2）∵等差数列{a_n}为递增数列，
∴a_n=2n-10．
∴bn=(an+10)•2n=n•2ⁿ⁺¹．
∴S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
可得2S_n=1×2³+2×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺²，
∴-Sn=22+23+…+2n+1-n×2n+2=

4×(2n-1)

2-1

-n×2n+2=（1-n）×2ⁿ-4，
∴S_n=（n-1）×2ⁿ⁺²+4．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其性质、等比数列的前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．