Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，H是正方形AA₁B₁B的中心，AA₁=2，CH⊥平面AA₁B₁B，且CH=3．
（1）求A₁C与平面ABC所成角的正弦值；
（2）在线段A₁B₁上是否存在一点P，使得平面PBC⊥平面ABC？若存在，求出B₁P的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求出A₁C与平面ABC所成角的正弦值；
（2）假设存在点P，则P（λ，0，0），且λ∈[0，2]，求出平面PBC的法向量，利用平面PBC⊥平面ABC，可得方程，即可得出结论．

解答： 解：如图，以点B₁为坐标在原点建立空间直角坐标系，
则B₁（0，0，0），A₁（2，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0），C（1，1，3）
（1）∵

AB

=(-2，0，0)，

AC

=(-1，-1，3)．
设平面ABC的一个法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • AB =0 n • AC =0

，即

-2x=0 -x-y+3z=0

，
令z=1，得

n

=(0，3，1)
设A₁C与平面ABC所成角为θ，则
∵

A1C

=(-1，1，3)，
∴sinθ=|

A1C • n

| A1C |•| n |

|=

3

55

110

（2）假设存在点P，则P（λ，0，0），且λ∈[0，2]，
∴

PB

=(-λ，2，0)，

BC

=(1，-1，3)．
设平面PBC的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m • PB =0 m • BC =0

，即

-λx+2y=0 x-y+3z=0

，
令x=1，得

m

=(1，

λ

2

，

λ

6

-

1

3

)．
∵平面PBC⊥平面ABC，∴

m

⊥

n

，
即0=

m

•

n

=

3

2

λ+

λ

6

-

1

3

，得λ=

1

5

∈[0，2]，
∴存在这样的点P(

1

5

，0，0)使得平面PBC⊥平面ABC，且B₁P=

1

5

．

点评：本题考查线面角，考查面面垂直，考查空间向量知识的运用，正确求平面的法向量是关键．