Question

已知f（x）=

x2

1+x2

，
（1）证明：f（x）+f（

1

x

）=1；
（2）计算f（1）+f（2）+f（

1

2

）+f（3）+f（

1

3

）+f（4）+f（

1

4

）的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）先利用函数解析式证明等式成立；（2）利用（1）的结论对所求各式进行分组求和，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵f(x)=

x2

1+x2

，
∴f(

1

x

)=

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

1

x2+1

，
∴f(x)+f(

1

x

)=

x2

1+x2

+

1

x2+1

=1．
∴原命题成立．
（2）由（1）知：
f(2)+f(

1

2

)=f(3)+f(

1

3

)=f(4)+f(

1

4

)=1，
又f(1)=

12

1+12

=

1

2

，
所以f(1)+f(2)+f(

1

2

)+f(3)+f(

1

3

)+f(4)+f(

1

4

)=

7

2

．

点评：本题考查了函数值的求法，用到了分组求和的技巧，本题难度不大，属于基础题．