Question

下列四个命题：
（1）奇函数f（x）在（-∞，0）上增函数，则（0，+∞）上也是增函数；
（2）命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的否命题是“若x²-3x+2=0，则x≠1”；
（3）y=x²-2|x|-3的单调递增区间为[1，+∞）；
（4）已知函数f（x）满足2f（x）=f（

1

x

）+

3

x

，则f（x）的最小值为2

2

．
其中正确结论的是

 

（填写正确结论的序号）

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：对于（1），由奇函数的图象关于原点对称，即可判断；对于（2），运用否命题的特点，即可判断；
对于（3），由偶函数的图象特点，即可得到增区间有两个；对于（4），先求函数的解析式，将x换为

1

x

，运用函数方程，即可得到f（x），再讨论x＞0，x＜0，求出最值，即可判断．

解答： 解：对于（1），由奇函数的图象关于原点对称，可得奇函数f（x）在（-∞，0）上增函数，
则（0，+∞）上也是增函数，故（1）正确；
对于（2），命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的否命题是“若x²-3x+2≠0，则x≠1”，故（2）错误；
对于（3），y=x²-2|x|-3为偶函数，x＞0时，增区间为（1，+∞），x＜0时，增区间为（-1，0），
故（3）错误；
对于（4），2f（x）=f（

1

x

）+

3

x

，①，将x换为

1

x

得到，2f（

1

x

）=f（x）+3x，②
由①②解得，f（x）=x+

2

x

，当x＞0时，f（x）有最小值2

2

，当x＜0时，有最大值-2

2

，故（4）错误．
故答案为：（1）

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，同时考查否命题的表示，函数的解析式的求法和最值的求法，属于中档题和易错题．