Question

已知向量

a

=（

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx）与

b

=（1，y）共线，设函数y=f（x）．
（1）求函数f（x）最大值，并求出对应的x的集合；
（2）已知锐角△ABC 中的三个内角分别为 A、B、C，若有f（A-

π

3

）=

3

，边 BC=

7

，sinB=

21

7

，求△ABC 的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：计算题

分析：（1）由向量

a

与

b

共线，既有

1

2

y-（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=0，进而可求函数f（x）的表达式，从而求出函数f（x）的最大值，并求出对应的x的集合；
（2）由f（A-

π

3

）=

3

，可求出A的值，由正弦定理可求出AC，sinC的值，即可求出△ABC 的面积．

解答： 解：（1）因为向量

a

与

b

共线，所以

1

2

y-（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=0，
则y=f（x）=2sin（x+

π

3

），所以f（x）的周期T=2π，
当x=2kπ+

π

6

，k∈Z，f_max=2．
（2）∵f（A-

π

3

）=

3

，
∴2sin（A-

π

3

+

π

3

）=

3

，
∴sinA=

3

2

，
∵0＜A＜

π

2

，∴A=

π

3

．
由正弦定理得

BC

sinA

=

AC

sinB

，又sinB=

21

7

，
∴AC=

BCsinB

sinA

=2，且sinC=

3 21

14

∴S△ABC=

1

2

|AC||BC|sinC=

3 3

2

．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用和正弦定理，属于中档题．