Question

已知函数f（x）=

1

3

ax²-bx-lnx，其中a，b∈R．
（1）当a=3，b=-1时，求函数f（x）的最小值；
（2）当a＞0，且a为常数时，若函数h（x）=x[f（x）+lnx]对任意的x₁＞x₂≥4，总有

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1成立，试用a表示出b的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出函数的导数，得到单调区间，从而求出函数的极值，（2）通过讨论a的范围，从而求出b的范围．

解答： 解：（1）当a=3，b=-1时，
f（x）=x²+x-lnx，x∈（0，+∞），
∴f′（x）=

(2x-1)(x+1)

x

，
∵x＞0，∴0＜x＜

1

2

时f'（x）＜0，x＞

1

2

时，f'（x）＞0
即f（x）在（0，

1

2

）上单调递减，在（

1

2

，+∞）上单调递增
∴f（x）在x=

1

2

处取得最小值
即f（x）_min=f（

1

2

）=

3

4

+ln2，
（2）由题意，对任意的x₁＞x₂≥4，
总有

[h(x1)+x1]-[h(x2)+x2]

x1-x2

＞0成立
令P（x）=h（x）+x=

1

3

ax³-bx²+x，x∈[4，+∞），
则函数p（x）在x∈[4，+∞）上单调递增
∴P′（x）=ax²-2bx+1≥0在x∈[4，+∞）上恒成立
∴2b≤

ax2+1

x

=ax+

1

x

在x∈[4，+∞）上恒成立
构造函数F（x）=ax+

1

x

（a＞0），x∈（0，+∞），
则F′（x）=

ax2-1

x2

，
∴F（x）在（0，

a

a

）递减，在（

a

a

，+∞）递增，
①当

a

a

＞4，即0＜a＜

1

16

时，
F（x）在[4，

a

a

）递减，在（

a

a

，+∞）递增，
∴F（x）_min=F（

a

a

）=2

a

，
∴2b≤F（x）_min，从而b∈（-∞，

a

]；
②当

a

a

≤4，即a≥

1

16

时，F（x）在[4，+∞）递增，
2b≤F（4）=4a+

1

4

，从而b∈（-∞，2a+

1

8

]，
综上，当0＜a＜

1

16

时，b∈（-∞，

a

]，a≥

1

16

时，b∈（-∞，2a+

1

8

]．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查二次函数的性质，分类讨论思想，是一道中档题．