题目内容
已知a、b、c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+
asinC-b-c=0．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=
，△ABC的面积为
，求b、c的值．
| 3 |
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=
| 13 |
| 3 |
考点：正弦定理,余弦定理
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，把sinB=sin（A+C）代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理求出sin（A-
）的值，即可确定出A的度数；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，把sinA与已知面积代入求出bc的值，利用余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入并利用完全平方公式变形，把bc的值代入求出+c的值，联立即可求出b与c的值．
| π |
| 6 |
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，把sinA与已知面积代入求出bc的值，利用余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入并利用完全平方公式变形，把bc的值代入求出+c的值，联立即可求出b与c的值．
解答：
解：（Ⅰ）由正弦定理知sinAcosC+
sinAsinC-sinB-sinC=0，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴
sinAsinC-cosAsinC-sinC=0，
∵sinC＞0，
∴
sinA-cosA-1=0，化简得：sin（A-
）=
，
∵
＜A-
＜
，
∴A-
=
，即A=
；
（Ⅱ）∵sinA=
，S=
，
∴
bc•
=
，即bc=4①，
∵a=
，cosA=
，
∴由余弦定理得：13=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc得：b+c=5②，
联立①②，解得：b=4，c=1或b=1，c=4．
| 3 |
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴
| 3 |
∵sinC＞0，
∴
| 3 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∵
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴A-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）∵sinA=
| ||
| 2 |
| 3 |
∴
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
∵a=
| 13 |
| 1 |
| 2 |
∴由余弦定理得：13=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc得：b+c=5②，
联立①②，解得：b=4，c=1或b=1，c=4．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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