Question

18．如图，直三陵柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=1，AA₁=$\sqrt{2}$，D是A₁B₁的中点，F是B₁B上一点．
（I）证明：C₁D⊥平面A₁B；（Ⅱ）设B₁F=1，求AB₁与平面C₁DF夹角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出C₁D⊥AA₁，C₁D⊥A₁B₁，由此能证明C₁D⊥平面A₁B．
（Ⅱ）以C₁为原点，C₁A₁为x轴，C₁B₁为y轴，C₁C为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB₁与平面C₁DF夹角θ的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵直三陵柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁D?平面A₁B₁C₁，
∴C₁D⊥AA₁，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=1，
∴C₁D⊥A₁B₁，
∵AA₁∩A₁B₁=A₁，∴C₁D⊥平面A₁B．
解：（Ⅱ）以C₁为原点，C₁A₁为x轴，C₁B₁为y轴，C₁C为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，$\sqrt{2}$），B₁=（0，1，0），A₁（1，0，0），D（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），
C₁（0，0，0），F（0，1，1），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-1，1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（0，1，1），
设平面C₁DF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}F}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2-\sqrt{2}|}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{6}$．
∴AB₁与平面C₁DF夹角θ的正弦值为$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．