Question

观察给出的下列各式：
（1）tan10°•tan20°+tan20°•tan60°+tan60°•tan10°=1；
（2）tan5°•tan15°+tan15°•tan70°+tan70°•tan5°=1．
由以上两式成立，你能得到一个什么样的推广？证明你的结论．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：综合题,推理和证明

分析：可以观察到：10°+20°+60°=90°，5°+15°+70°=90°，故可以猜想此推广式为：若α+β+γ=

π

2

，且α，β，γ都不等于kπ+

π

2

(k∈Z)，则有tanα•tanβ+tanβ•tanγ+tanγ•tanα=1．利用和角的正切公式，即可得出结论．

解答： 解：可以观察到：10°+20°+60°=90°，5°+15°+70°=90°，
故可以猜想此推广式为：若α+β+γ=

π

2

，且α，β，γ都不等于kπ+

π

2

(k∈Z)，
则有tanα•tanβ+tanβ•tanγ+tanγ•tanα=1．                
证明：∵α+β+γ=

π

2

，∴α+β=

π

2

-γ，
∴tan（α+β）=tan（

π

2

-γ）=cotγ，
∴tanα+tanβ=cotγ（1-tanαtanβ），
∴tanα•tanβ+tanβ•tanγ+tanγ•tanα=1．

点评：合情推理中的类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．其思维过程大致是：观察、比较 联想、类推 猜测新的结论．