Question

如图，直角梯形MCDE中，EM∥DC，ED⊥DC，B是EM上一点，CD=BM=

2

CM=2，EB=ED=1，沿BC把△MBC折起，使平面MBC⊥平面BCDE，得出右侧的四棱锥A-BCDE．
（1）证明：平面EAD⊥平面ACD；
（2）求二面角E-AD-B的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）过B作BH⊥CD于H，由勾股定理得AC⊥BC，平面ABC⊥平面BCDE，得AC⊥DE，又CD⊥DE，由此能证明平面EAD⊥平面ACD．
（2）以D为原点，分别以DE，DC为x轴，y轴，建立空间直角坐标系D-xyz，由此利用向量法能求出二面角E-AD-B的大小．

解答： （1）证明：过B作BH⊥CD于H，则CH=BH=1，
∴BC=

2

，又AC=

2

，AB=2，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，而平面ABC⊥平面BCDE，
∴AC⊥平面BCDE，∴AC⊥DE，
又CD⊥DE，∴DE⊥平面ACD，
又DE?平面ADE，∴平面EAD⊥平面ACD．
（2）解：以D为原点，分别以DE，DC为x轴，y轴，
建立空间直角坐标系D-xyz，
由题意D（0，0，0），E（1，0，0），C（0，2，0），
A（0，2，

2

），B（1，1，0），

AD

=（0，-2，-

2

），

AE

=（1，-2，-

2

），

DB

=（1，1，0），
设平面ADE的法向量

m

=（x，y，z），平面ABD的法向量

n

=（a，b，c），
由

m • AD =-2y- 2 z=0 m • AE =x-2y- 2 z=0

，取z=

2

，得

m

=（0，-1，

2

），
同理，

n

=（1，-1，

2

），
∴|cos＜

m

，

n

＞|=|

m ， n

| m |•| n |

|=

3

3 ×2

=

3

2

，
由题意知二面角E-AD-B的平面角是锐角，
∴二面角E-AD-B的大小是

π

6

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，涉及到线面垂直、面面垂直、勾股定理、向量法等知识点的合理运用，是中档题．