Question

已知下列五个命题：
①命题“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R均有x²+x+1＞0”
②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等
③已知x＞0时，（x-1）f′（x）＜0，若△ABC是锐角三角形，则f（sinA）＞f（cosB）
④“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的否命题是真命题
⑤过M（2，0）的直线l与椭圆

x2

2

+y2=1交于P₁，P₂两点，线段P₁P₂中点为P，设直线l的斜率为k₁（k₁≠0），直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂等于-

1

2

．
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,导数的综合应用,解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：由存在性命题的否定为全称性命题，即可判断①；
若两组数据的中位数相等，根据平均数的计算公式，它们的平均数不一定相等，即可判断②；
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增，若△ABC是锐角三角形，即有A+B＞

π

2

，A＞

π

2

-B，
sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，即可判断③；
在三角形ABC中，sinA＞sinB?a＞b?A＞B，即可判断④；
设点，代入椭圆方程，利用点差法，结合线段P₁P₂的中点为P，即可得到结论，即可判断⑤．

解答： 解：对于①，命题“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R均有x²+x+1≥0”则①错误；
对于②，若两组数据的中位数相等，根据平均数的计算公式，它们的平均数不一定相等，则②错误；
对于③，x＞0时，（x-1）f′（x）＜0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增，若△ABC是锐角三角形，
即有A+B＞

π

2

，A＞

π

2

-B，sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，即有f（sinA）＞f（cosB），则③正确；
对于④，在三角形ABC中，sinA＞sinB?a＞b?A＞B，则原命题的否命题是真命题，则④正确；
对于⑤，设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，x₁²+2y₁²=2，
x₂²+2y₂²=2，两式相减可得：（x₁-x₂）×2x+2（y₁-y₂）×2y=0，由于直线l的斜率为k₁（k₁≠0），
直线OP（O是原点）的斜率为k₂，则k₁k₂=-

1

2

，则⑤正确．
故答案为：③④⑤．

点评：本题考查命题的否定、中位数和平均数的关系、函数的导数与单调性的关系及锐角三角形中锐角的正弦函数的单调性的运用，考查正弦定理和点差法、中点坐标和斜率公式，考查运算能力，属于基础题和易错题．