Question

8．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为$\frac{1}{2}$、a、a（0＜a＜1），三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，则实数a的取值范围是$（0，\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 P（ξ）是“ξ个人命中，3-ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，3．则P（ξ=1）-P（ξ=0）≥0，P（ξ=1）-P（ξ=2）≥0，P（ξ=1）-P（ξ=3）≥0．及其0＜a＜1，解出即可得出．

解答 解：P（ξ）是“ξ个人命中，3-ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=${C}_{1}^{0}•（1-\frac{1}{2}）$•${∁}_{2}^{0}（1-a）^{2}$=$\frac{1}{2}（1-a）^{2}$，P（ξ=1）=${∁}_{1}^{1}•\frac{1}{2}{∁}_{2}^{0}（1-a）^{2}$+${∁}_{1}^{0}（1-\frac{1}{2}）•{∁}_{2}^{1}a（1-a）$=$\frac{1}{2}（1-{a}^{2}）$，
P（ξ=2）=${∁}_{1}^{1}•\frac{1}{2}•{∁}_{2}^{1}a（1-a）$+${∁}_{1}^{0}（1-\frac{1}{2}）{∁}_{2}^{2}{a}^{2}$=$\frac{1}{2}（2a-{a}^{2}）$，P（ξ=3）=${∁}_{1}^{1}•\frac{1}{2}•{∁}_{2}^{2}$a²=$\frac{1}{2}{a}^{2}$．
P（ξ=1）-P（ξ=0）=$\frac{1}{2}（1-{a}^{2}）$-$\frac{1}{2}（1-a）^{2}$=a（1-a），
P（ξ=1）-P（ξ=2）=$\frac{1}{2}（1-{a}^{2}）$-$\frac{1}{2}（2a-{a}^{2}）$=$\frac{1-2a}{2}$，
P（ξ=1）-P（ξ=3）=$\frac{1}{2}（1-{a}^{2}）$-$\frac{1}{2}{a}^{2}$=$\frac{1-2{a}^{2}}{2}$．
由a（1-a）≥0，$\frac{1-2a}{2}$≥0，$\frac{1-2{a}^{2}}{2}$≥0，0＜a＜1，得$0＜a≤\frac{1}{2}$，即a的取值范围是$（0，\frac{1}{2}]$．
故答案为：$（0，\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查了相互独立事件与互斥事件的概率计算公式及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．