Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x-lnx，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行判断即可．

解答 解：函数的导数${f^'}（x）=\frac{{a{x^2}+2x-1}}{x}（x＞0）$
（1）当a＞0时，f′（x）＞0得$x＞\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}$，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得$0＜x＜\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}$，此时函数单调递减．
（2）当a=0时，f′（x）＞0得$x＞\frac{1}{2}$，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得$0＜x＜\frac{1}{2}$，此时函数单调递减．
（3）当-1＜a＜0时，f′（x）＞0得$\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}＜x＜\frac{{-1-\sqrt{1+a}}}{a}$，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得$0＜x＜\frac{{-1+\sqrt{1+a}}}{a}$或$x＞\frac{{-1-\sqrt{1+a}}}{a}$，此时函数单调递减．
（4）当a≤-1时，f′（x）≤0恒成立．此时函数单调递减．

点评 本题主要考查函数单调性的判断，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系解导数不等式是解决本题的关键．注意要对参数a进行分类讨论．