Question

11．已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n．
（1）求a₂，a₃，及{a_n}的通项公式．
（2）求{$\frac{1}{a_n}$}的前n项和T_n，并证明：1≤T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）根据已知等式确定出a₂，a₃，得出{a_n}的通项公式即可；
（2）表示出{$\frac{1}{a_n}$}的前n项和T_n，根据前n项和T_n为递增数列，确定出T_n的范围，即可得证．

解答 解：（1）由S₂=$\frac{4}{3}$a₂，a₁=1，得到3（a₁+a₂）=4a₂，
解得：a₂=3a₁=3；
由S₃=$\frac{5}{3}$a₃得3（a₁+a₂+a₃）=5a₃，
解得：a₃=$\frac{3}{2}$（a₁+a₂）=6．
由题设知a₁=1，
当n＞1时有a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n+2}{3}$a_n-$\frac{n+1}{3}$a_n-1，
整理得：a_n=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1．
于是a₁=1，a₂=$\frac{3}{1}$a₁，a₃=$\frac{4}{2}$a₂，…，a_n-1=$\frac{n}{n-2}$a_n-2，a_n=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1，
将以上n个等式两端分别相乘，整理得a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
综上，{a_n}的通项公式a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
∴T_n=2[$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$]=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=2-$\frac{2}{n+1}$＜2，即T_n＜2，
又T_n+1＞T_n，{T_n}单调增，
∴T_n＞=T₁=1，
则1≤T_n＜2．

点评 此题考查了数列的求和，确定数列的通项公式，拆项法，以及数列的递推式，熟练掌握数列的性质是解本题的关键．