Question

18．已知双曲线过点P（-3$\sqrt{2}$，4），它的渐近线方程为y=±$\frac{4}{3}$x．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F₁和F₂为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF₁|•|PF₂|=41，求∠F₁PF₂的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线渐近线方程为y=±$\frac{4}{3}$x，设双曲线方程为y²-$\frac{16}{9}$x²=λ（λ≠0），代入点P的坐标算出λ=-16，即可得到双曲线的标准方程；
（2）由双曲线的标准方程，算出a=3、b=4且c=5，设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，则d₁•d₂=41，又由双曲线的几何性质知|d₁-d₂|=2a=6，再由△F₁PF₂中|F₁F₂|=10，利用余弦定理加以计算即可得出∠F₁PF₂的余弦值．

解答 解：（1）设双曲线的方程为y²-$\frac{16}{9}$x²=λ（λ≠0），
代入点P（-3$\sqrt{2}$，4），可得λ=-16，
∴所求求双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$
（2）设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，则d₁•d₂=41，
又由双曲线的几何性质知|d₁-d₂|=2a=6，
∴d₁²+d₂²-2d₁d₂=36即有d₁²+d₂²=36+2d₁d₂=118，
又|F₁F₂|=2c=10，
∴|F₁F₂|²=100=d₁²+d₂²-2d₁d₂cos∠F₁PF₂
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{14}{41}$

点评 本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P的情况下求它的标准方程，并依此求∠F₁PF₂的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．