Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、Q分别为线段BD₁、CC₁上的动点，则PQ的最小值为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

  3

• C、

  3

• D、

  2

  2

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：欲求PQ的最小值，只须找出PQ是BD₁与CC₁垂的公垂线即可，可由四边形EFMC是矩形→PQ⊥CC₁．由PQ⊥面DBD₁→PQ⊥BD₁．然后求出最小值．

解答： 解：当P、Q分别为线段BD₁、CC₁上的中点，取BD中点M．
连接MC，PM，
∵P为BD₁中点，
∴PM∥D₁D且PM=

1

2

D₁D．
又QC

1

2

CC₁且QC⊥MC，
∴四边形QPMC是矩形
∴PQ⊥CC₁．又PM⊥面DBD₁．
∴PQ⊥面DBD₁．
∵BD₁?面DBD₁．∴PQ⊥BD₁．
故PQ为BD₁与CC₁的公垂线．
∴PQ=MC=

2

2

．
故选：D．

点评：本题考查空间异面直线的距离的求法，找出异面直线的公垂线是解题的关键，考查空间想象能力和推理能力．