Question

对于任意不全为0的实数a，b，关于x的方程3ax²+2bx-（a+b）=0在区间（0，1）内（　　）

• A、无实根
• B、恰有一实根
• C、至少有一实根
• D、至多有一实根

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=0时，求得x=

1

2

，此时，方程在区间（0，1）内有一个实数根，（2）当a≠0时，根据函数零点的判定定理可得方程在区间（0，1）内至少有一个实数根，从而得出结论．

解答： 解：（1）当a=0时，b≠0，方程即 2bx-b=0，解得x=

1

2

，此时，方程在区间（0，1）内有一个实数根．
（2）当a≠0时，
若a（a+b）＜0，∵f（0）f（

1

2

）=-（a+b）•（-

a

4

）=

a(a+b)

4

＜0，
∴方程在区间（0，1）内至少有一个实数根．
若a（a+b）≥0，∵f（

1

2

）f（1）=-

a

4

•（2a+b）=-

a2

4

-

a(a+b)

4

＜0，
 方程在区间（0，1）内至少有一个实数根．
综上可得，只有C正确，
故选：C．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，函数零点的判定定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．