Question

1．数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（1）设b_n=a_n+1-a_n，证明{b_n}是等差数列；
（2）令c_n=$\frac{1}{{{a_n}+5n}}$，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）欲证明{b_n}是等差数列，只需推知该数列的首项和公差即可；
（2）由（1）可求得b_n=2ⁿ，继而可知a_n=2ⁿ-1，从而可得{c_n}的通项公式，然后利用裂项相消法即可求得答案．

解答 证明：（1）由a_n+2=2a_n+1-a_n+2得a_n-a_n+1=a_n+1-a_n+2+2，即b_n+1=b_n+2，又b₁=a₂-a₁=1．
所以{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列；
解：（2）由（1）得，b_n=1+2（n-1）=2n-1，
由b_n=a_n+1-a_n得，a_n+1-a_n=2n-1，
则a₂-a₁=1，a₃-a₂=3，a₄-a₃=5，…，a_n-a_n-1=2（n-1）-1，
所以，a_n-a₁=1+3+5+…+2（n-1）-1=$\frac{（n-1）（1+2n-3）}{2}$=（n-1）²，
又a₁=1，
所以{a_n}的通项公式a_n=（n-1）²+1=n²-2n+2．
所以c_n=$\frac{1}{{{a_n}+5n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
所以S₁=c₁=$\frac{1}{6}$，
S_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$．

点评 本题考查数列的求和，考查等差关系的确定，突出考查裂项相消法的应用，属于中档题．