Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=$\sqrt{3}$，且a²=b²+c²-bc，则△ABC的面积S的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由已知及余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，解得A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得：b²+c²=3+bc，利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵a²=b²+c²-bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，A为三角形内角，解得A=$\frac{π}{3}$，
∵a=$\sqrt{3}$，
∴3=b²+c²-bc，可得：b²+c²=3+bc，
∵b²+c²≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），
∴2bc≤3+bc，解得bc≤3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．