Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-x（x≥0）}\\{{x}^{2}-x（x＜0）}\end{array}\right.$，对于任意x∈[1，+∞），不等式f（a²-e^x-1）＞f（2x²-2a）恒成立，则实数a的取值范围为（-3，1）．

Answer 1

分析 判断f（x）在R上递增，由题意可得a²-e^x-1＜2x²-2a，即a²+2a＜2x²+e^x-1在x∈[1，+∞）恒成立，令g（x）=2x²+e^x-1，求出单调性可得最小值，解不等式a²+2a＜3，可得a的范围．

解答 解：当x≥0时，f（x）=-x²-x的对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
区间[0，+∞）为递增区间；
当x＜0时，f（x）=x²-x的对称轴为x=$\frac{1}{2}$，
区间（-∞，0）为递减区间，
且f（0）=0，
故f（x）在R上递减．
任意x∈[1，+∞），不等式f（a²-e^x-1）＞f（2x²-2a）恒成立
即为a²-e^x-1＜2x²-2a，即
a²+2a＜2x²+e^x-1在x∈[1，+∞）恒成立，
令g（x）=2x²+e^x-1，则g（x）在[1，+∞）递增，
可得g（1）取得最小值，且为2+1=3，
由a²+2a＜3，解得-3＜a＜1．
故答案为：（-3，1）．

点评 本题考查函数的单调性的运用：解不等式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数求最值，属于中档题．