Question

已知数列{a_n}满足 a₁=1，a_n=2a_n-1+1，（n＞1）
（1）写出数列的前4项；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据 a₁=1，a_n=2a_n-1+1，写出前4项即可，
（2）由题意得a_n+1=2（a_n-1+1），继而得到{a_n+1}是以a₁+1=1+1=2为首项，公比为2的等比数列，然后写出通项即可
（3）根基等比数列的求和公式计算即可

解答： 解：（1）a₁=1，a_n=2a_n-1+1a₂=2a₁+1=3，------------1分
a₃=2a₂+1=7-------------2分
a₄=2a₃+1=15---------3分
（2）a₁=1，a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1）-----------4分

an+1

an-1+1

=2-----------5分
∴{a_n+1}是以a₁+1=1+1=2为首项，公比为2的等比数列，----6分
∴an+1=2×2n-1=2n-----------7分
∴an=2n-1-----------8分
（3）数列{a_n}的前n项和为S_n
则S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n
=（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+（2⁴-1）+…+（2ⁿ-1）---------10分
=（2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-n------11分
=

2-2n×2

1-2

-n---------13分
=2ⁿ⁺¹-2-n---------14分．

点评：本题考查数列的概念及数列的递推公式，及前n项公式，考查学生的计算能力，属于中档题．