Question

已知数列{a_n}及f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，f_n（-1）=（-1）ⁿ•n，n=1，2，3，…
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：

1

3

≤fn(

1

3

)＜1．

Answer 1

考点：数列的应用,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用函数的性质能求出a₁，a₂，a₃的值．
（2）由已知条件推导出a_n+1=2n+1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（3）由fn(x)=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，利用错位相减法能证明

1

3

≤fn(

1

3

)＜1．

解答： （1）解：由已知f₁（-1）=-a₁=-1，所以a₁=1．…（1分）
f₂（-1）=-a₁+a₂=2，所以a₂=3．…（2分）
f₃（-1）=-a₁+a₂-a₃=-3，所以a₃=5．…（3分）
（2）解：令x=-1，则fn(-1)=a1(-1)+a2(-1)2+…+an(-1)n①
fn+1(-1)=a1(-1)+a2(-1)2+…+an(-1)n+an+1(-1)n+1②
两式相减，得(-1)n+1•an+1=fn+1(-1)-fn(-1)=(-1)n+1•(n+1)-(-1)n•n，
所以a_n+1=（n+1）+n．即a_n+1=2n+1．…（5分）
又a₁=1也满足上式，…（6分）
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．（n=1，2，3…）．…（7分）
（3）证明：fn(x)=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，
所以fn(

1

3

)=

1

3

+3(

1

3

)2+5(

1

3

)3+…+(2n-1)(

1

3

)n．③

1

3

•fn(

1

3

)=(

1

3

)2+3(

1

3

)3+5(

1

3

)4+…+(2n-1)(

1

3

)n+1．④
①-②，得

2

3

fn(

1

3

)=

1

3

+2(

1

3

)2+2(

1

3

)3+…+2(

1

3

)n-(2n-1)(

1

3

)n+1
=

1

3

+

2 9 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-(2n-1)(

1

3

)n+1=

2

3

-

2n+2

3

(

1

3

)n，
∴fn(

1

3

)=1-

n+1

3n

．…（9分）
又n=1，2，3…，∴

n+1

3n

＞0故fn(

1

3

)＜1．
又fn+1(

1

3

)-fn(

1

3

)=

2n+1

3n+1

＞0
∴{fn(

1

3

)}是递增数列，故fn(

1

3

)≥f1(

1

3

)=

1

3

…（11分）
∴

1

3

≤fn(

1

3

)＜1．…（12分）

点评：本题考查数列的前3项及通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．