Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率的取值范围正好是函数f（x）=2^x+2^-x（-1≤x≤2）的值域，则该双曲线渐近线的斜率取值范围是（　　）

• A、[

  2

  ，

  273

  4

  ]∪[-

  273

  4

  ，-

  2

  ]
• B、[

  3

  ，

  273

  4

  ]∪[-

  273

  4

  ，-

  3

  ]
• C、[-

  273

  4

  ，

  2

  ]
• D、[-

  273

  4

  ，

  3

  ]

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：依题意，可求得函数f（x）=2^x+2^-x（-1≤x≤2）的值域为[2，

17

4

]，即双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率e∈[2，

17

4

]，于是可求得

3

≤

b

a

≤

273

4

，利用其渐近线斜率k=±

b

a

，即可求得答案．

解答： 解：∵-1≤x≤2，
∴

1

2

≤2^x≤4，令t=2^x（

1

2

≤t≤4），
则g（t）=t+

1

t

在[

1

2

，1]上单调递减，在[1，4]上单调递增，
∴当t=1时，g（t）_min=g（1）=2；
当t=4时，g（t）_max=g（4）=4+

1

4

=

17

4

，
∴函数f（x）的值域为[2，

17

4

]，即双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率e∈[2，

17

4

]．
∵该双曲线渐近线为y=±

b

a

x，其斜率k=±

b

a

，
由e=

c

a

∈[2，

17

4

]得：
e²=

c2

a2

=

a2+b2

a2

=1+

b2

a2

∈[4，

289

16

]，
∴3≤

b2

a2

≤

273

16

，又a＞0，b＞0，
∴

3

≤

b

a

≤

273

4

，即

3

≤±k≤

273

4

，
∴

3

≤k≤

273

4

，或-

273

4

≤k≤-

3

，
即该双曲线渐近线的斜率取值范围是[

3

，

273

4

]∪[-

273

4

，-

3

]，
故选：B．

点评：本题考查双曲线的简单性质，着重考查其渐近线斜率的取值范围，求得其离心率的取值范围是关键，考查运算求解能力，属于难题．