Question

已知实数x、y、z满足2x²+3y²+6z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是1，求a的值．

Answer 1

考点：柯西不等式的几何意义

专题：综合题,不等式

分析：由柯西不等式：[（

2

x）²+（

3

y）²+（

6

z）²][（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

6

）²]≥（

1

2

×

2

x+

1

3

×

3

y+

1

6

×

6

z）²，可得出x+y+z的最大值，从而可根据最大值为1，建立关于a的方程解出a值即可．

解答： 解：由柯西不等式：[（

2

x）²+（

3

y）²+（

6

z）²][（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

6

）²]≥（

1

2

×

2

x+

1

3

×

3

y+

1

6

×

6

z）²…（5分）
因为2x²+3y²+6z²=a（a＞0），所以a≥（x+y+z）²，
因为x+y+z的最大值是1，所以a=1，
当2x=3y=6z时，x+y+z取最大值，…（6分）
所以a=1．…（7分）

点评：本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，对于柯西不等式的构造是题目的关键，需要同学们灵活应用．