Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，AD=A₁A=

1

2

AB，点E为棱AB上的点，A₁D⊥D₁E．
（Ⅰ）若点F为线段D₁E上的点，求证：A₁D⊥AF；
（Ⅱ）设AD=1，若二面角D₁-EC-D的大小为45°，求点B到平面D₁EC的距离．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角

分析：（Ⅰ）连结AD₁，由已知条件推导出AD₁⊥A₁D，A₁D⊥D₁E，从而得到A₁D⊥平面AED₁，由此能够证明A₁D⊥AF．
（Ⅱ）分别以DA、DC、DD₁为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面D₁EC的距离．

解答： （Ⅰ）证明：连结AD₁，由已知得AA₁D₁D是下方形，
∴AD₁⊥A₁D，
∵A₁D⊥D₁E，AD₁∩D₁E=D₁，
∴A₁D⊥平面AED₁，
∵AF?平面AED₁，
∴A₁D⊥AF．
（Ⅱ）解：如图，由（Ⅰ）知，底面ABCD为矩形，
分别以DA、DC、DD₁为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
由题意知

m

=（0，0，1）为平面DEC的法向量，
设

n

=（x，y，z）为平面CED₁的法向量，
∵二面角D₁-EC-D的大小为45°，
∴|cos＜

m

，

n

＞|=

|z|

x2+y2+z2

=cos45°=

2

2

，
∴z²=x²+y²，①
∵AD=1，∴D1 （0，9，1），C（0，2，0），∴

D1C

=(0，2，-1)，
∵

n

⊥

D1C

，∴2y-z=0，②
由①②可取

n

=（

3

，1，2），
又

CB

=(1，0，0)，
∴点B到平面D₁EC的距离d=

| CB • n |

| n |

=

3

2 2

=

6

4

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．