Question

在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量

m

=（cosA，sinA），

n

=（

2

-sinA，cosA），若

m

•

n

=1．
（1）求角A的大小；
（2）若b=4

2

，且c=

2

a，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）由两向量的坐标利用平面向量数量积运算化简已知等式，整理后求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将cosA，b，c=

2

a代入求出a的值，进而求出c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（1）∵

m

=（cosA，sinA），

n

=（

2

-sinA，cosA），且

m

•

n

=1，
∴

2

cosA-sinAcosA+sinAcosA=1，
∴cosA=

2

2

，
则A=

π

4

；
（2）∵cosA=

2

2

，b=4

2

，c=

2

a，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=32+2a²-8

2

a，
解得：a=4

2

，c=

2

a=8，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4

2

×8×

2

2

=16．

点评：此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．