Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（{2a-1}）x+3a-4，x≤t\\{x^3}-x，x＞t\end{array}$，无论t为何值，函数f（x）在R上总是不单调，则a的取值范围是（　　）

• A． a≤$\frac{1}{2}$
• B． a≥2
• C． $\frac{1}{2}$≤a＜1
• D． a＞$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 首先分析f（x）=x³-x，其单调区间．然后根据无论t取何值，函数f（x）在区间（-∞，+∞）总是不单调，判断f（x）=（2a-1）x+3a-4的单调性，求出a的取值范围即可．

解答 解：对于函数f（x）=x³-x，
f'（x）=3x²-1  x＞t
当3x²-1＞0时，即x＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$或x＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
此时f（x）=x³-x，为增函数
当3x²-1＜0时，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵x＞t，
∴f（x）=x³-x，一定存在单调递增区间，
要使无论t取何值，函数f（x）在区间（-∞，+∞）总是不单调，
∴f（x）=（2a-1）x+3a-4不能为增函数，
∴2a-1≤0，
∴a≤$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查函数单调性的判定与应用，三次函数与一次函数的单调性的判断，属于中档题．