Question

19．已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的函数，若对于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
（3）设f（1）=1，若f（x）＜m²-2am+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0计算f（0），再令y=-x得出f（x）为奇函数；
（2）设x₁＜x₂，则f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0，故而得出f（x）为增函数；
（3）又条件可知m²-2am＞0对a∈[-1，1]恒成立，列出不等式组解出a的范围．

解答 解：（1）令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0
令y=-x，则f（x-x）=f（0）=f（x）+f（-x），∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数．
（2）函数f（x）在[-1，1]上是增函数．
设x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在[-1，1]上是增函数．
（3）∵f（x）在[-1，1]上是增函数，∴f（x）≤f（1）=1，
∵f（x）＜m²-2am+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立．
∴m²-2am+1＞1，?a∈[-1，1]恒成立；
即m²-2am＞0，?a∈[-1，1]恒成立，
令  g（a）=-2ma+m²，则$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（1）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2m+{m}^{2}＞0}\\{-2m+{m}^{2}＞0}\end{array}\right.$，
解得：m＞2或m＜-2．
∴实数m的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）．

点评 本题考查了函数奇偶性，单调性的判断，函数最值与函数恒成立问题，属于中档题．