题目内容
9．若实数a，b，c，d满足ab=3，c+3d=0，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为$\frac{18}{5}$．分析 根据柯西不等式和基本不等式的性质即可求出．
解答 解：10[（a-c）2+（b-d）2]=[（12+32）[（a-c）2+（b-d）2]
≥[1×（a-c）+3×（b-d）]2 （柯西不等式，3（a-c）=1•（b-d）时取“=“）
=[（a+3b）-（c+3d）]2
=a2+9b2+6ab
≥2•a•3b+6ab （a=3b时取“=“）
=12ab=36
得（a-c）2+（b-d）2≥$\frac{18}{5}$，当且a=3，b=1，c=$\frac{12}{5}$，d=-$\frac{4}{5}$或a=-3，b=-1，c=-$\frac{12}{5}$，d=$\frac{4}{5}$取“=”
所以 （a-c）2+（b-d）2的最小值是$\frac{18}{5}$，
故答案为：$\frac{18}{5}$
点评 本题考查了柯西不等式和不等式的基本性质，属于中档题．
练习册系列答案
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