题目内容
已知f（x）是R上的奇函数，f（2）=0，xf′（x）-f（x）＞0（x＞0），则不等式xf（x）＞0的解集是（ ）
| A、（-2，2） |
| B、（-2，0 ）∪（0，2） |
| C、（-∞，-2 ）∪（2，+∞） |
| D、（-2，0 ）∪（2，+∞） |
考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质
专题：导数的综合应用
分析：构造函数g（x）=
，利用导数得到该函数的单调区间，结合该函数的取值情形，进行求解．
| f(x) |
| x |
解答：
解：设函数g（x）=
，
∴g′（x）=
，
∵x＞0，xf′（x）-f（x）＞0，∴
∴g′（x）=
＞0，
∴g（x）的单调递增区间为（0，+∞），
∵f（x）是R上的奇函数，
∴g（-x）=
=
=
=g（x），
∴g（x）为偶函数，
∵f（2）=0，∴f（-2）=-f（2）=0，
∴g（2）=0．g（-2）=0，
∴当x＜-2时，g（x）＞0，
当-2＜x＜0时，g（x）＜0，
当0＜x＜2时，g（x）＜0，
当x＞2时，g（x）＞0，
∵不等式xf（x）＞0的解集等价于g（x）＞0，
∴当x＜-2或x＞2时，g（x）＞0，
不等式xf（x）＞0的解集{x|x＜-2或x＞2}．
故选：B．
| f(x) |
| x |
∴g′（x）=
| xf′(x)-f(x) |
| x2 |
∵x＞0，xf′（x）-f（x）＞0，∴
∴g′（x）=
| xf′(x)-f(x) |
| x2 |
∴g（x）的单调递增区间为（0，+∞），
∵f（x）是R上的奇函数，
∴g（-x）=
| f(-x) |
| -x |
| -f(x) |
| -x |
| f(x) |
| x |
∴g（x）为偶函数，
∵f（2）=0，∴f（-2）=-f（2）=0，
∴g（2）=0．g（-2）=0，
∴当x＜-2时，g（x）＞0，
当-2＜x＜0时，g（x）＜0，
当0＜x＜2时，g（x）＜0，
当x＞2时，g（x）＞0，
∵不等式xf（x）＞0的解集等价于g（x）＞0，
∴当x＜-2或x＞2时，g（x）＞0，
不等式xf（x）＞0的解集{x|x＜-2或x＞2}．
故选：B．
点评：本题重点考查了函数的基本性质，函数的单调性与导数之间的关系等知识点，构造函数是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
给出下列命题：
①非零向量
，
满足|
|=|
|=|
-
|，则
与
的夹角为60°；
②若
•
＞0，则
与
的夹角为锐角；
③△ABC中，有一点O满足
+
+
=0，则O为△ABC的重心；
④对非零向量
，
，若|
+
|=|
|-|
|，则存在实数λ，使得
=λ
成立．
以上命题正确的个数是（ ）
①非零向量
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
②若
| a |
| b |
| a |
| b |
③△ABC中，有一点O满足
| OA |
| OB |
| OC |
④对非零向量
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
以上命题正确的个数是（ ）
| A、4个 | B、3个 | C、2个 | D、1个 |
在△ABC中，已知b=
，c=1，B=45°，则C等于（ ）
| 2 |
| A、75° | B、105°或30° |
| C、105° | D、30° |
若命题“?x∈R，x2+4x+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
| A、a≤4 | B、a≥4 |
| C、a＜4 | D、a＞4 |
已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：
①若l∥α，则l平行于α内的所有直线；
②若m?α，l?β且l⊥m，则α⊥β；
③若l?β，l⊥α，则α⊥β；
④若m?α，l?β且α∥β，则m∥l；
其中正确命题的个数为（ ）
①若l∥α，则l平行于α内的所有直线；
②若m?α，l?β且l⊥m，则α⊥β；
③若l?β，l⊥α，则α⊥β；
④若m?α，l?β且α∥β，则m∥l；
其中正确命题的个数为（ ）
| A、1个 | B、2个 | C、3个 | D、4个 |
已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（-1+x）=f（-1-x），当0≤x≤1时，f（x）=1-x2，若直线y=-x+a与曲线y=f（x）恰有2个交点，则实数a的所有可能取值构成的集合为（ ）
A、{a|a=2k+
| ||||
B、{a|a=2k-
| ||||
C、{a|a=2k+1或2k+
| ||||
| D、{a|a=2k+1，k∈Z} |
直线l：y=2x-1与圆C：x2+y2=3的位置关系是（ ）
| A、相离 | B、相切 |
| C、直线过圆C的圆心 | D、相交 |