Question

设函数f（x）=x|x-a|，a＞0
（1）若a=1时，判断f（x）的奇偶性；
（2）写出函数的单调区间；
（3）若关于x的方程f（x）=a-

3

4

在区间[1，2]上恰有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的单调性及单调区间,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求f（-1）=-2，f（1）=0，所以根据奇函数、偶函数的定义便知函数f（x）此时非奇非偶；
（2）去绝对值，然后根据二次函数的单调性即可写出函数f（x）的单调区间；
（3）可画出f（x）的图象，根据图象便容易求出a的取值范围．

解答： 解：（1）若a=1，f（x）=x|x-1|；
f（-1）=-2，f（1）=0；
∴f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；
（2）f（x）=x|x-a|=

x2-ax x≥a -x2+ax x＜a

；
∵a＞0，∴x²-ax在[a，+∞）上单调递增；
-x²+ax在[

a

2

，a)上单调递减，在（-∞，

a

2

）上单调递增；
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，

a

2

），[a，+∞）；
单调减区间为[

a

2

，a）；
（3）f（x）的图象如下图所示：
由图象知，符合题意的a应满足：
1＜

a

2

＜2，或1＜a＜2，即2＜a＜4，或1＜a＜2；
①当2＜a＜4时，则

a- 3 4 ≥f(1)=a-1 a- 3 4 ≥f(2)=2a-4 a- 3 4 ＜f( a 2 )= a2 4

；
解得3＜a≤

13

4

；
②当1＜a＜2时，则

a- 3 4 ＞0 a- 3 4 ≤f(1)=a-1 a- 3 4 ≤f(2)=4-2a

；
解得a∈∅；
∴综上得a的取值范围为（3，

13

4

]．

点评：考查奇函数、偶函数的定义及判断方法，处理含绝对值函数的方法：去绝对值，二次函数的单调性，以及数形结合解题的方法．