Question

已知函数f（x）=

-2x2+2x， x≤1 1 x -1， x＞1

，若对任意x∈R，f（x）-|x-k|-|x-1|≤0恒成立，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,数形结合,分类讨论,函数的性质及应用

分析：求出y=f（x）-|x-1|，在直角坐标系中，画出函数y=f（x）-|x-1|和y=|x-k|的图象，讨论k=1，k=

1

2

，两图象的关系，运用作差比较即可判断；再由图象平移，通过观察即可判断k＞1或k＜

1

2

也成立，即可得到k的范围．

解答： 解：y=f（x）-|x-1|=

-2x2+3x-1，x≤1 1 x -x，x＞1

，
在直角坐标系中，画出函数y=f（x）-|x-1|和y=|x-k|的图象，
①当k=1时，它们都过（1，0），当x＜1时，y=|x-1|=1-x，
y=f（x）-|x-1|=-2x²+3x-1，由1-x-（-2x²+3x-1）=2x²-4x+2
=2（x-1）²＞0，则有x≤1时，f（x）-|x-k|-|x-1|≤0恒成立，x＞1由图象可得f（x）-|x-k|-|x-1|≤0恒成立；
②当k=

1

2

时，它们都过（

1

2

，0），当x＞

1

2

，y=|x-

1

2

|=x-

1

2

，
由于x＞1时，f（x）＜0，只要考虑

1

2

＜x＜1，y=f（x）-|x-1|=-2x²+3x-1，
由x-

1

2

-（-2x²+3x-1）=2x²-2x+

1

2

=2（x-

1

2

）²＞0，则有

1

2

＜x＜1，f（x）-|x-k|-|x-1|≤0恒成立，
x＞1或x＜

1

2

时，由图象可得，f（x）-|x-k|-|x-1|≤0恒成立，
则k=1，

1

2

时，对任意x∈R，f（x）-|x-k|-|x-1|≤0恒成立；
③当k＞1或k＜

1

2

时，由图象平移可得，对任意x∈R，f（x）-|x-k|-|x-1|≤0恒成立．
综上可得，k的取值范围为k≥1或k≤

1

2

．
故答案为：（-∞，

1

2

]∪[1，+∞）．

点评：本题考查分段函数及运用，考查数形结合的思想方法，考查图象的平移规律，考查分类讨论的数学思想，考查运算能力，属于中档题和易错题．