Question

已知直线l：2x+y+4=0与圆C：x²+y²+2x-4y+1=0相交于A，B两点，求：
（1）线段AB的长；
（2）以AB为直径的圆M的标准方程．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：（1）先将圆化为标准方程，然后利用点到直线的距离求弦长；
（2）联立直线方程和圆的方程，利用根与系数之间的关系求出A，B的中点坐标即可求出以AB为直径的圆M的标准方程．

解答： 解：（1）圆的标准方程为（x+1）²+（y-2）²=4，圆心为P（-1，2），半径为r=2．
所以圆心到直线的距离d=

|-2+2+4|

22+1

=

4

5

．
所以弦长l=2

r2-d2

=2

4- 16 5

=2

4 5

=

4

5

=

4 5

5

．
故线段AB的长为

4 5

5

；
（2）∵|AB|=

4 5

5

，∴以AB为直径的圆的半径为

2 5

5

，
由2x+y+4=0得y=-2x-4代入圆的方程得5x²+26x+33=0，
则x₁+x₂=-

26

5

，即中点横坐标x=

1

2

（x₁+x₂）=-

13

5

，
纵坐标y=-2x-4=

6

5

，即圆心坐标为（-

13

5

，

6

5

），
则以AB为直径的圆的方程为（x+

13

5

）²+（y-

6

5

）²=（

2 5

5

）²=

4

5

．

点评：本题主要考查直线和圆的方程的应用，根据弦长公式以及联立直线和圆的方程，结合根与系数之间的关系是解决本题的关键．