Question

已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3-x）=f（x），且有最小值

7

4

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数h（x）=f（x）-（2t-3）x（t∈R）在区间[0，1]上的最小值；
（3）是否存在实数m，使得在区间[-1，3]上函数f（x）的图象恒在直线y=2x+m的上方？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的最值及其几何意义

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）用待定系数法设出函数解析式，利用条件图象过点（0，4），f（3-x）=f（x），最小值得到三个方程，解方程组得到本题结论；
（2）分类讨论研究二次函数在区间上的最小值，得到本题结论；
（3）将条件转化为恒成立问题，利用参变量分离，求出函数的最小值，得到本题结论．

解答： 解：（1）二次函数f（x）图象经过点（0，4），任意x满足f（3-x）=f（x），则对称轴x=

3

2

，
f（x）存在最小值

7

4

，
则二次项系数a＞0，设f（x）=a（x-

3

2

）²+

7

4

．
将点（0，4）代入得：f（0）=

9a

4

+

7

4

=4，
解得：a=1
∴f（x）=（x-

3

2

）²+

7

4

=x²-3x+4．
（2）h（x）=f（x）-（2t-3）x
=x²-2tx+4=（x-t）²+4-t²，x∈[0，1]．
当对称轴x=t≤0时，h（x）在x=0处取得最小值h（0）=4；
当对称轴0＜x=t＜1时，h（x）在x=t处取得最小值h（t）=4-t²；
当对称轴x=t≥1时，h（x）在x=1处取得最小值h（1）=1-2t+4=-2t+5．
综上所述：当t≤0时，最小值4；当0＜t＜1时，最小值4-t²；当t≥1时，最小值-2t+5．
∴h（x）=

4，t≤0 4-t2，0＜t＜1 5-2t，t≥1

．
（3）由已知：f（x）＞2x+m对于x∈[-1，3]恒成立，
∴m＜x²-5x+4对x∈[-1，3]恒成立，
∵g（x）=x²-5x+4在x∈[-1，3]上的最小值为-

9

4

，
∴m＜-

9

4

．

点评：本题考查了二次函数在区间上的最值、函数方程思想和分类讨论思想，本题计算量适中，属于中档题．