Question

如图，在棱长均相等的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为BC的中点．
（1）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（2）求C₁C与平面AC₁D所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接A1C，交AC₁于O，连接OD，运用中位线定理，以及直线和平面平行的判定定理，即可得证；
（2）过C作CM⊥平面AC₁D，垂足为M，连接MC₁，则∠MC₁C即为求C₁C与平面AC₁D所成角．设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长为2a，CM=d，运用等积法，即VC-C1DA=VC1-ACD，运用棱锥体积公式，计算可得d，再由解直角三角形MC₁C，即可得到．

解答： （1）证明：连接A₁C，交AC₁于O，连接OD，
由于OD是△A₁BC的中位线，则OD∥A₁B，
又OD?平面面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
则有A₁B∥平面AC₁D；
（2）解：过C作CM⊥平面AC₁D，垂足为M，连接MC₁，
则∠MC₁C即为求C₁C与平面AC₁D所成角．
设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长为2a，CM=d，
则C₁D=

4a2+a2

=

5

a，AD=

3

2

×2a=

3

a，
AC₁=2

2

a，由AC₁²=C₁D²+AD²，即有AD⊥C₁D，
△ADC₁的面积为

1

2

×

3

a•

5a

=

15

2

a²，
由VC-C1DA=VC1-ACD，可得，

1

3

d•S△C1DA=

1

3

•2a•

1

2

•

3

4

•(2a)2
即有

1

3

d•

15

2

a²=

3

3

a³，解得，d=

2 5

5

a．
则cos∠MC₁C=

C1M

CC1

=

4a2- 4a2 5

2a

=

2 5

5

．
即有C₁C与平面AC₁D所成角的余弦值

2 5

5

．

点评：本题考查线面平行的判定定理，考查线面垂直的判定和性质，考查空间线面所成的角的求法，注意运用体积转换法，属于中档题．