Question

如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是AB边的中点，F是BC边上的一点，对角线AC分别交DE、DF于M、N两点，将△DAE及△DCF折起，使A、C重合于G点，构成如图2所示的几何体．
（Ⅰ）求证：GD⊥EF；
（Ⅱ）若EF∥平面GMN，求三棱锥G-EFD的体积V_G-EFD．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）注意到DA⊥AE，DC⊥CF，则折起后DG⊥GE，DG⊥GF，从而证明DG⊥平面EFG，从而得证；
（Ⅱ）由EF∥平面GMN可得EF∥MN，从而可知EF是△ABC的中位线，从而求三棱锥G-EFD的体积V_G-EFD．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵DA⊥AE，DC⊥CF，
∴DG⊥GE，DG⊥GF，
又∵GE∩GF=G，
∴DG⊥平面EFG，
∴GD⊥EF．
（Ⅱ）∵EF∥平面GMN，
∴EF∥MN，
又∵E是AB边的中点，
∴F是BC边上的中点，
∴GE⊥GF，
∴V_G-EFD=V_D-GEF=

1

3

×

1

2

×1×1×2=

1

3

．

点评：本题考查了线面垂直的判定与应用，同时考查了体积的求法，属于中档题．