Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥BB₁C₁C，BC=1，AB=BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

．
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）P是线段BB₁上的动点，当平面C₁AP⊥平面AA₁B₁B时，求线段B₁P的长；
（Ⅲ）若E为BB₁的中点，求二面角C₁-AE-A₁平面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）运用线面垂直的判定和性质定理，即可得证；
（Ⅱ）由面面垂直的判定定理，可得面ABB₁A₁⊥面BB₁C₁C过C₁作C₁P⊥BB₁于P，则C₁P⊥面AA₁B₁B，在直角三角形BB₁C₁中，即可解得B₁P；
（Ⅲ）运用线面垂直的判断和性质，过P作PH⊥AE，交AE所在直线于点H，则有∠C₁HP为二面角C₁-AE-A₁平面角．再在三角形C₁HP中，即可得到平面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：AB⊥侧面BB₁C₁C，得AB⊥C₁B，
由BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

，
知∠C₁BC=90°，即C₁B⊥CB，
又CB∩BA=A，
故C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：由已知AB⊥侧面BB₁C₁C，
知面ABB₁A₁⊥面BB₁C₁C，
过C₁作C₁P⊥BB₁于P，
则C₁P⊥面AA₁B₁B，
因C₁P?面C₁AP，
故平面C₁AP⊥平面AA₁B₁B，
在直角三角形BB₁C₁中，
B₁P=B₁C₁cos60°=

1

2

；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知C₁P⊥面AA₁B₁B，
过P作PH⊥AE，交AE所在直线于点H，
则AE⊥平面C₁HP，即有AE⊥C₁H，
∠C₁HP为二面角C₁-AE-A₁平面角．
由三角形相似求得：PH=

5

5

，又C1P=

3

2

，
∴tan∠C1HP=

C1P

PH

=

3

2

/

5

5

=

15

2

，
故cos∠C1HP=

2 19

19

．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系：垂直，考查线面垂直的判断和性质，以及面面垂直的判定和性质，考查空间的二面角的求法，考查运算能力，属于中档题．