Question

直线y=kx-2与椭圆x²+4y²=80相交于不同的两点P、Q，若PQ的中点横坐标为2，则直线的斜率等于（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、2
• D、4

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由直线y=kx-2与椭圆x²+4y²=80联立得：（4k²+1）x²-16kx-64=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出k．

解答： 解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由直线y=kx-2与椭圆x²+4y²=80联立得：（4k²+1）x²-16kx-64=0
因为直线y=kx-2与椭圆x²+4y²=80相交于不同的两点P、Q，
所以△=（-16k）²-4×（4k²+1）×（-64）＞0，
即1280k²+256＞0，此式显然成立．
把P，Q点的坐标待入椭圆方程得：x12+4y12=80，①
x22+4y22=80，②
①-②得：

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

，
所以

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4[k(x1+x2)-4]

，
又因为PQ的中点横坐标为2，所以x₁+x₂=4，
所以k=-

4

4(4k-4)

，即（2k-1）²=0，解得k=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．