题目内容
19．正项等比数列{an}中，a1，a4031是函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3-4x2+6x-3的极值点，则log${\;}_{\sqrt{6}}}$a2016=1．分析 f'（x）=x2-8x+6，由a1，a4031是函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-3$的极值点，可得a1•a4031=6，再利用等比数列的性质及其对数的运算性质即可得出．
解答 解：f'（x）=x2-8x+6，
∵a1，a4031是函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-3$的极值点，
∴a1，a4031是方程f'（x）=x2-8x+6=0的两个实数根，
∴a1•a4031=6，
又∵正项等比数列{an}，∴$a_{2016}^2={a_1}•{a_{4031}}=6$，
∴${log_{\sqrt{6}}}{a_{2016}}={log_{\sqrt{6}}}\sqrt{6}=1$．
故答案为：1．
点评 本题考查了等比数列的性质及其对数的运算性质、导数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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