Question

7．设各项均为正整数的无穷等差数列{a_n}，满足a₅₄=4028，且存在正整数k，使a₁，a₅₄，a_k成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为301．

Answer 1

分析 由题意和等差数列的通项公式得a₁+53d=4028，由d为正整数得a₁是53的倍数，由等比中项的性质列出式子：a₅₄²=a₁a_k=4×4×19×19×53×53，对a₁分类讨论，分别化简后结合题意可得结论．

解答 解：由题意得a₅₄=4028，则a₁+53d=4028，
化简得$\frac{{a}_{1}}{53}$+d=76，
∵d为正整数，∴a₁是53的倍数，
∵a₁，a₅₄，a_k成等比数列，
∴a₅₄²=a₁a_k=4×4×19×19×53×53，且a_n是整数，
（1）若a₁=53，53+53d=4028，解得d=75，
此时a_k=4×4×19×19×53=53+75（k-1），得k=4081，成立，
（2）若a₁=2×53，106+53d=4028，解得d=74，
此时a_k=2×4×19×19×53=2×53+74（k-1），得k=2886，成立，
（3）若a₁=3×53，159+53d=4028，解得d=73，
此时a_k=$\frac{1}{3}$（4×4×19×19×53）不是整数，舍去，
（3）若a₁=4×53，212+53d=4028，解得d=72，
此时a_k=4×19×19×53=4×53+72（k-1），得k=1060，成立，
（4）若a₁=16×53=848，848+53d=4028，得53d=3180，d=60，
此时a_k=19×19×53=16×53+60（k-1），得k不是整数，不成立，
（5）若a₁=19×53=1007，1007+53d=4028，得53d=3021，d=57，
此时a_k=4×4×19×53=19×53+57（k-1），得k=265，成立，
（6）若a₁=53×53=2809，2809+53d=4028，得53d=1219，d=23，
此时a_k=4×4×19×19=53×53+72（k-1），得k=129，成立，
∴公差d的所有可能取值之和为75+74+72+57+23=301．
故答案为：301．

点评 本题考查等差数列的通项公式，等比中项的性质，考查分类讨论的数学思想、以及化简、计算能力，确定a₁是53的倍数是关键．