Question

8．如图直角梯形ABCD中，|AB|=2，|DC|=1，|AD|=1，点P为梯形ABCD内部（包括边界）内任一点，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BD}$的取值范围为[-4，1]．

Answer 1

分析 可得出A，B，C，D四点坐标，并设P（x，y），从而得出$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BD}$的坐标，进而求出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BD}=-2x+y$，可设-2x+y=z，得到y=2x+z，z表示直线y=2x+z在y轴上的解决，x，y的变化范围为矩形ABCD及其内部，这样根据线性规划的知识即可求出z的最大、最小值，从而求出z的范围，即得出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BD}$的取值范围．

解答 解：由条件，A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1），设P（x，y），则：
$\overrightarrow{AP}=（x，y），\overrightarrow{BD}=（-2，1）$；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BD}=-2x+y$；
设-2x+y=z，则y=2x+z，z表示直线y=2x+z在y轴上的截距，如图：
当直线过D（0，1）时截距最大为1，经过B（2，0）时截距最小为-4；
∴-4≤z≤1；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BD}$的取值范围为[-4，1]．
故答案为：[-4，1]．

点评 考查利用向量坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，向量数量积的坐标运算，线性规划的概念，以及利用线性规划求变量范围的方法．