Question

已知函数f（x）=

eax

x

（1）若f（x）在区间[1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围；
（2）当a=

1

2

时，求函数f（x）在区间[m，m+1]（m＞0）上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）函数f（x）在上为增函数，故(

eax

x

)′=

eax(ax-1)

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立，即可解得；
（2）利用导数判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，注意对m的讨论．

解答： 解：（1）由题知：函数f（x）在上为增函数，故(

eax

x

)′=

eax(ax-1)

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立，
又由e^ax＞0，x²＞0，则ax-1≥0，即a≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立，
又(

1

x

)max=1，故a≥1．-------------（5分）
（2）当a=

1

2

时，f(x)=

e x 2

x

(x≠0)，f(x)′=

e x 2 ( x 2 -1)

x2

；
当

x

2

-1＞0时，即x＞2时，f'（x）＞0；
当

x

2

-1＜0时，即x＜0或0＜x＜2时，f'（x）＜0；
则f（x）的增区间是（2，+∞），减区间是（-∞，0），（0，2）
由于m＞0，则m+1＞1，-------------（8分）
当m+1≤2时，即0＜m≤1时，f（x）在[m，m+1]上单调递减，
则f(x)min=f(m+1)=

e m+1 2

m+1

；
当m＜2＜m+1时，即1＜m＜2时，f（x）在[m，2]上单调递减，在（2，m+1]单调递增．
则f(x)min=f(2)=

e

2

；
当m≥2时，f（x）在[m，m+1]上单调递增．则f(x)min=f(m)=

e m 2

m

，
综上可知：当0＜m≤1时，f(x)min=f(m+1)=

e m+1 2

m+1

；
当1＜m＜2时，f(x)min=f(2)=

e

2

；
当m≥2时，f(x)min=f(m)=

e m 2

m

．-------------（12分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查学生分类讨论思想的运用能力及运算求解能力，综合性逻辑性强，属于难题．