Question

已知函数f（x）=

1

2

cos（2x-φ）的图象过点（

π

6

，

1

2

），
①求φ的值；
②将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在（0，

π

4

）上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：①直接把点（

π

6

，

1

2

）代入函数解析式，即可求得φ值；
②利用三角函数图象的平移得到函数y=g（x）的解析式，然后根据x的范围求得函数y=g（x）在（0，

π

4

）上的最大值和最小值．

解答： 解：①∵函数f（x）=

1

2

cos（2x-φ）的图象过点（

π

6

，

1

2

），
∴

1

2

cos(2×

π

6

-φ)=

1

2

，即cos(

π

3

-φ)=1，
∴

π

3

-φ=2kπ，k∈Z．
则φ=2kπ+

π

3

，k∈Z；
②函数f（x）=

1

2

cos（2x-2kπ-

π

3

）=

1

2

cos（2x-

π

3

），
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，
则对应图象的函数解析式为g（x）=

1

2

cos（4x-

π

3

），
由x∈（0，

π

4

），得4x-

π

3

∈(-

π

3

，

2π

3

)，
∴

1

2

cos（4x-

π

3

）∈(-

1

4

，

1

2

]．
∴函数y=g（x）在（0，

π

4

）上的最大值为

1

2

，无最小值．

点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，考查了三角函数值域的求法，是中档题．